Blog da Professora Ju

(OBM 2003 – 1ª Fase – Nível 3)

Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, .... O 2003^o termo desta sequência é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resposta:

Uma parte da sequência, com 8 algarismos, se repete: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2003 por 8, obtemos 3 como resto, e deste modo, o 2003^o termo corresponde ao terceiro elemento da parte da sequência que se repete, isto é, 3.

Resposta correta letra C.

(OBM 2006 – 1ª Fase – Nível 3)

Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

Qual a medida do ângulo x?

A) 39º
B) 41º
C) 43º
D) 44º
E) 46º

Resposta:

Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados:

Então os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60º e 30º, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são respectivamente 180º – 126º – 30º = 24º e 90º – 24º = 66º; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita são respectivamente 180º – 75º – 66º = 39º e 90º – 39º = 51º. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igual a x, temos x = 90º – 51º = 39º.

Resposta correta letra A.

(OBM 2007– 1ª Fase – Nível 3)

Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que:

A) A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua.
B) A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua.
C) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou mais andares.
D) Em ambos os lados da rua há a mesma quantidade de prédios com exatos 8 andares.
E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de 5 andares.

Resposta:

Para ter menos de 5 andares, a soma dos algarismos do número do prédio deve ser menor que 5. As possibilidades são, do lado direito (par), 4, 22, 40, 12, 30, 2, 20, 10, 100. Do lado esquerdo (ímpar), são 13, 31, 3, 21, 11, 1. Temos então, mais prédios com menos de 5 andares do lado direito da rua.

Resposta correta letra B.

Referência: www.obm.org.br

Abraços,
Ju

(OBM 2005 – 1ª Fase – Nível 3)

Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é:

A) 10
B) 13
C) 18
D) 22
E) 25

Resposta:

Os números em questão são 12, 23, 34, 45, …, 89 (8 números);
123, 234, 345, …, 789 (7 números);
1234, 2345, …, 6789 (6 números) e, por fim, 12345, um total de 8 + 7 + 6 + 1 = 22
números.

Resposta correta letra D.

(OBM 2008 – 1ª Fase – Nível 3)

Cinco inteiros positivos maiores que um satisfazem as seguintes condições:

Quanto vale a soma ?

A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
E) 49

Resposta:

Se são cinco inteiros maiores que um, então , e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação , onde 5 e 31 são primos, temos que e . Portanto,

Obs.: Note que a = 4, b = 5, c = 7, d = 9 e e = 11 é solução do sistema.

Resposta correta letra D.

(OBM 2010 – 1ª Fase – Nível 3)

Quatro números inteiros positivos a < b < c < d são tais que o mdc entre quaisquer dois deles é maior do que 1, mas mdc(a, b, c, d) = 1. Qual é o menor valor possível para d?

A) 10
B) 12
C) 15
D) 30
E) 105

Resposta:

Nenhum dos inteiros em questão é uma potência de um primo p pois caso contrário todos os outros inteiros teriam o fator p em comum e isso não é permitido. Logo d possui pelo menos dois fatores primos distintos. Além disso, um dos números a, b, c, d é ímpar; caso contrário mdc (a, b, c, d) = 2. Assim, como o menor número ímpar com dois fatores primos distintos é 15,  
Para d = 15, temos como exemplo a = 6, b = 10, c = 12 e d = 15.

Resposta correta letra C.

É isso aí.
Bons estudos, e qualquer dúvida, é só perguntar.

Abraços,
Ju