Blog da Professora Ju

Bom, se quiser, pode - estamos num país livre. Supostamente. Mas isso não vai lhe dar a resposta certa.

Na escola, aprendemos uma maneira fácil de multiplicar frações: basta multiplicarmos os números de cima (os numeradores) e os de baixo (os denominadores), assim:

Mas a regra para somá-las é muito mais complicada. “Coloque-as sobre um denominador comum (o número de baixo), depois some os numeradores (os números de cima)”. Porque não podemos somá-las da mesma maneira? Porque está errado? E o que devemos fazer em vez disso?

A resposta curta é que não podemos somar frações dessa maneira porque não vamos encontrar a resposta certa! Como é quase igual a , e o mesmo vale para , quando somamos essas frações, o resultado deve ser no mínimo . Mas é menor que , porque metade de 12 é 6. O erro é ainda mais evidente quando tentamos somar , porque , não faz sentido: como  , isto seria o mesmo que dizer que .

Tudo muito bem, mas por que a regra da multiplicação funciona, e o que devemos usar para a adição?

A maneira mais fácil de enxergarmos por que as regras são diferentes - como devem ser - é usando figuras. Eis uma figura para .

A barra vertical mostra uma linha com cinco pedaços iguais, dos quais dois foram pintados de laranja. Isso representa : duas partes de cinco. Da mesma forma, a barra horizontal representa . Os retângulos representam a multiplicação, porque a área do retângulo é o que obtemos quando multiplicamos os dois lados. O retângulo grande contêm quadrados. O retângulo laranja contêm quadrados. Portanto, o retângulo laranja é do retângulo grande.

Quando estamos somando, a figura correspondente é a seguinte: 
     Encontramos do retângulo grande pegando as duas primeiras fileiras dentre as cinco, e pegando as três colunas da esquerda dentre as sete. Estas regiões estão mostradas na figura acima, nas cores em amarelo, azul e verde.  A cor verde é para indicar a sobreposição das regiões.

Para contar quantos quadrados existem no total, temos de contar os quadrados sobrepostos duas vezes, ou então, fazer uma cópia adicional, como na figura abaixo.

De qualquer forma, ficamos com 29 quadrados dentre 35, portanto, a soma deve ser .

Para entender como o 29 se relaciona com os números originais basta contarmos os quadrados das duas fileiras, , e somá-los aos das três colunas à esquerda, . Então, . Portanto, a regra da adição é .

É daí que vem a receita habitual “coloque as duas frações sobre o mesmo denominador”.

Referência: Incríveis Passatempos Matemáticos, do autor Ian Stewart, editora Zahar.

Vou ficando por aí.

Grande abraço,
Ju

Todos nós já sabemos que a Páscoa cai sempre num domingo, no entanto,  não necessariamente  é celebrada no mesmo dia, tão pouco, ela ocorre no mesmo mês.

A partir do dia da Páscoa, outras datas comemorativas são estabelecidas: 2 dias antes do domingo de Páscoa é a Sexta-Feira Santa; 40 dias antes é a Quarta-Feira de Cinzas; (sem contar os domingos - que não são incluídos na Quaresma); 41 dias antes é o Carnaval; e o dia de Corpus Christi acontece 60 dias depois da páscoa. (Todos os dias bem lembrados pela gente, afinal, são FERIADOS!!!)

Então, para sabermos o dia exato da Páscoa Cristã em cada ano, temos de efetuar uma divisão de números. Afinal, a Matemática está presente mesmo em tudo!

O dia da Páscoa, por ser uma festa móvel, varia de ano para ano.  Para se calcular o dia da Páscoa, utiliza-se o seguinte algoritmo (é uma sequência finita de instruções bem definidas e não ambíguas, cada uma das quais pode ser executada mecanicamente num período de tempo finito e com uma quantidade de esforço finita):

1. Divide-se o ano em que estamos por 19 (divisão inteira) e anota-se o resto.

2. Ao resto obtido, na divisão efetuada no passo anterior, adiciona-se 1 unidade.

3. O número que se obtém é um “número dourado” que corresponde a uma data específica dada na tabela abaixo (vale para os anos de 1900 a 2199). A Páscoa é celebrada no domingo a seguir a esta data.

OBS.: Caso a data já seja um domingo, a Páscoa é o domingo da semana seguinte.

Vamos ver se funciona mesmo???

Vejamos o exemplo deste ano de 2011:

1. Dividindo 2011 por 19, obtemos o quociente 105 e o resto 16.

2. Se ao resto 16 adicionarmos 1 unidade, obtemos a soma 17.

3. Consultando a tabela acima dos “números dourados”, verificamos que ao número dourado 17 corresponde a data 17 de Abril. O Domingo imediatamente a seguir a esta data é precisamente no dia 24 de Abril, que será a data do Domingo de Páscoa deste ano.

Ahh, só para lembrar, ainda dá tempo de comprar meu ovo de Páscoa… rsrsrrsrs

Que tal agora você tentar:  Sem recorrerem ao calendário do próximo ano, procure determinar a data exata do Domingo de Páscoa de 2012. (Para ajudar nos cálculos, utilize a calculadora que tem na barra lateral direita na página do blog).

Curiosidade:

Este é o maior ovo de páscoa do mundo feito totalmente de chocolate. Ele foi produzido na Bélgica em 2005. Ele possuía 8 metros de altura e 6 metros de diâmetro, pesando 1.9 toneladas. Para produzir este ovo gigante foram necessários 8 dias e 6 funcionários de uma empresa de chocolates belga. Hummm deve ser uma delícia! Será que vou ganhar um destes??? rsrsrsrs

Para finalizar, gostaria de já antecipar e deixar aqui meus votos de uma FELIZ PÁSCOA COM MUITO CHOCOLATE a todos os leitores do blog.

Abraços,
Ju

Olá pessoal,

Que absurdo matemático é este? 4 é igual a 6? Que coisa louca hein! Vamos ver?

4 é igual a 6?

Vamos começar com a seguinte igualdade:

-24 = -24

Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes:

16 - 40 = 36 - 60

Os números 16, 40, 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma:

4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5

Podemos somar 25 (5x5) nos dois lados da equação sem alterá-la:

4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5

Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo)

(4 - 5)² = (6 - 5)²

Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos:

4 - 5 = 6 - 5

Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado:

4 = 6

Será???

Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 4 não é igual a 6, ou alguém tem alguma dúvida??? :*).

Solução:

No exemplo acima, chegamos numa etapa onde tivemos:

(4-5)² = (6-5)²

A próxima etapa era tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo:

4-5 = 6-5

Aí está o erro!!!

Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria:

| 4-5 | = | 6-5 |

| –1 | = | 1 |

1 = 1

Aí sim!!!

É sempre bom fazer cada etapa com muita atenção para não cair no absurdo matemático.

Se você quiser conhecer outros absurdos matemáticos já postados no blog, clique sobre os nomes: 2 é igual a 1??? e 64 é igual a 65???.

Um abraço,
Ju

Olá pessoal,

Vocês já ouviram falar dos números amigos???

“Certas propriedades relativas aos números inteiros recebem denominações curiosas, que não raras vezes surpreendem os espíritos desprevenidos ou não afeitos aos estudos das múltiplas transformações aritméticas. Alguns matemáticos procuram dentro da ciência abrir campos largos onde possam fazer aterrar — com a perícia de grandes pilotos — as mais extravagantes fantasias.

Citemos, para justificar a nossa asserção, o caso dos chamados números amigos, que são minuciosamente estudados em vários compêndios.

Como descobrir, perguntará o leitor, entre os números aqueles que estão presos pelos laços dessa amizade matemática? De que meios se utiliza o geômetra para apontar, na série numérica, os elementos ligados pela estima?

Em poucas palavras podemos explicar em que consiste o conceito de números amigos em Matemática.

Consideremos, por exemplo, os números 220 e 284.

O número 220 é divisível exatamente pelos seguintes números:

1, 2,4,5, 10, 11,20, 22,44, 55 e 110

São esses os divisores de 220 e menores que 220.

O número 284 é, por sua vez, divisível exatamente pelos seguintes
números:

1, 2, 4, 71 e 142

São esses os divisores de 284, e menores que 284.

Pois bem. Há entre esses dois números uma coincidência realmente notável. Se somarmos os divisores de 220 acima indicados, vamos obter uma soma igual a 284; se somarmos os divisores de 284, o resultado será igual a 220. Dizem por isso os matemáticos que esses dois números são amigos.

Há uma infinidade de números amigos, mas até agora só foram calculados 26 pares.

Tomemos, por exemplo, o número 6, que é divisível pelos números 1, 2 e 3. A soma desses números (1 + 2 + 3) é igual a 6. Concluímos, portanto, que o número 6 é amigo de 6 mesmo, ou seja. é amigo dele próprio.

Já houve quem quisesse inferir desse fato ser o 6 um número egoísta.

Mas isso — como diria Kipling — já é outra história...”

Texto extraído do livro “Matemática divertida e curiosa” do autor Malba Tahan.

Interessante né???

Um abraço e até mais.
Ju

Olá pessoal,

Dando continuidade a série “Régua de Cálculo”, hoje vou mostrar como realizar a operação multiplicação.

Primeiramente, é necessário distinguir duas situações:

1. Quando o produto da multiplicação for menor ou igual a 10:

Neste caso, basta colocar o 1 da esquerda, que está na régua móvel, no multiplicador situado na régua fixa, e o visor no multiplicando situado na régua móvel. O resultado estará na régua fixa.

Por exemplo, 2*3

Note que na figura acima o 1 da régua móvel foi colocado no 2 da régua fixa, enquanto que o visor foi colocado no 3 da régua móvel. O resultado é 6.

2. Quando o produto da multiplicação for maior do que 10:

Neste caso, basta colocar o 1 da direita, que está na régua móvel, no multiplicador situado na régua fixa, e o visor no multiplicando situado na régua móvel. O resultado estará na régua fixa, multiplicado por 10.

Por exemplo, 5*6

Na figura acima, 1 da direita, que está na régua móvel,  foi colocado sobre o 5 da régua fixa, enquanto que o visor foi colocado sobre o 6 da régua móvel. O resultado é o número que aparece na régua fixa, multiplicado por 10. Logo, 3*10 = 30.

Importante: Para se fazer multiplicações maiores, basta dividir o multiplicador e o multiplicando por 10 até se enquadrarem na escala da régua. O resultado será o valor encontrado multiplicado por 10 até se chegar a ordem de grandeza do multiplicador e do multiplicando originais.

Por exemplo, 20*30

(1) faz-se o enquadramento na escala da régua, que é de 0 a 10, dividindo-se 20 por 10 (=2) e 30 por 10 (=3);

(2) faz-se a multiplicação pelos valores enquadrados (2*3);

(3) multiplica-se o resultado encontrado na régua por 10*10, que foram as divisões feitas no multiplicador e no multiplicando para se enquadrarem na escala da régua. Portanto, 6*10*10 = 600.

200*300

(1) faz-se o enquadramento na escala da régua, que é de 0 a 10, dividindo-se 200 por 100 (=2) e 300 por 100 (=3);

(2) faz-se a multiplicação pelos valores enquadrados (2*3);

(3) multiplica-se o resultado encontrado na régua por 100*100, que foram as divisões feitas no multiplicador e no multiplicando para se enquadrarem na escala da régua. Portanto, 6*100*100 = 60.000.

Explicando o passo a passo realmente parece um pouco complicado, mas na prática os cálculos são bem fáceis.

É isso aí, vou ficando por aqui.

Até mais.
Um abraço!
Ju

Olá galerinha,

Vocês já ouviram falar da régua de cálculo??? Não??? Pois bem, no post de hoje, vamos voltar um pouquinho no tempo e conhecer esse instrumento matemático bastante interessante e útil na época em que não existia calculadoras.

Régua de Cálculo

Cursor da Régua de Cálculo

Régua de Cálculo Circular 

Uma Régua de cálculo é um computador mecânico analógico que permite a realização de cálculos por meio de guias graduadas deslizantes.

Sua criação foi feita pelo padre inglês William Oughtred, em 1638, basendo-se na tábua de logaritmos, que fora criada por John Napier pouco antes, em 1614.

Apesar da semelhança com uma régua, destas que vocês levam para a escola, a régua de cálculo é um dispositivo que não tem nada a ver com medição de pequenas distâncias ou traço de retas. A régua de cálculo é conhecida como o pai das calculadoras eletrônicas modernas (até mesmo porque os engenheiros que criaram as calculadoras eletrônicas provavelmente fizeram isso usando réguas de cálculo), tendo sido largamente usada até a década de 1970 quando então, a versão eletrônica foi largamente difundida e aceita em função de sua simplicidade e precisão.

Quanto a precisão, as réguas de cálculo não fornecem valores exatos e sim aproximados que são aceitos como viáveis dentro de certa aplicação. Assim, um cálculo como 1345 * 3442 = ? é resolvido facilmente com uma régua de cálculo, mas, o máximo que será possível dizer do resultado é que ele está bem próximo de 4.650.000 e raramente o valor exato (4.629.490 neste caso).

Em geral, operações de adição e subtração são realizadas à mão (no lápis e papel), pois  são extremamente simples  quando comparadas com as demais operações. No entanto, quando queremos realizar multiplicações e divisões, a tarefa já fica mais complicada, então, são nessas operações que as réguas de cálculos entram, facilitando o trabalho, e elas fazem isso convertendo para uma soma uma multiplicação ou para uma simples subtração uma divisão. Isso é feito levando-se em conta as seguintes propriedades matemáticas:

e  
A régua de cálculo é composta por dois tipos de escalas: as fixas e as móveis, e em cada uma destas partes estão distribuídas as várias possíveis escalas. Quase sempre as escalas mostradas na figura abaixo estão presentes em todas as réguas. Estas são as principais escalas, no entanto, existem muitas outras, inclusive há régua que possuem diversas partes móveis com escalas diferentes que podem ser intercambiadas na parte fixa para expandir as possibilidades de cálculos, por exemplo, na régua abaixo, não existe a escala S que faz cálculos com senos, assim, poderíamos tirar a parte móvel (composta, no caso, pelas escalas B, CI e C), e colocar uma outra que contivesse a escala S que em conjunto com a escala D permite cálculos de seno.

Na tabela seguinte encontramos algumas das escalas:

Além da parte fixa e da móvel, a régua tem ainda o cursor (você encontra a figura logo no início da postagem) que é uma janela móvel com uma linha fina que permite que pontos em escalas não adjacentes sejam alinhados.

Hoje, conhecemos um pouquinho da régua de cálculo, no post da próxima semana, “JUra? Régua de cálculo - Parte 2”,  farei um passo a passo mostrando como fazer alguns cálculos com este interessante instrumento matemático.

Apareçam. :-)

Vou ficando por aqui. Um abraço!
Ju

Olá turminha,
Hoje vou postar um vídeo do professor Márcio Barbosa que encontrei no Youtube. Ele nos mostra uma forma diferente de se aprender a tabuada. Vamos assistir???


Legal né???

Um abraço!
Ju

Olá,

Vamos mostrar como era feita, no ano 830, uma subtração de números inteiros.

Para que você possa acompanhar com facilidade todas as operações, vamos empregar, na representação dos números, algarismos modernos.

Do número 12025 vamos tirar 3604.

A operação era iniciada pela esquerda (operação I). Dizemos: de 12 tirando 3 restam 9; cancelamos os algarismos considerados e escrevemos o resto obtido em cima do minuendo (veja figura abaixo).

Continuamos: de 90 tirando 6 restam 84.

A diferença obtida (operação II) é escrita sobre o minuendo, e os algarismos que formavam os termos da subtração aparecem cancelados.

Finalmente: de 8425 tirando 4 restam 8421 (operação III).

É essa a diferença entre os números dados.

Era assim que Mohamed Ben Musa Alkarismí, geômetra árabe, um dos sábios mais notáveis do Século IX, realizava uma subtração de números inteiros.

Que coisa complicada não?!

Um abraço e até mais.
Ju

Olá galerinha,

Finalizando as postagens sobre a origem de alguns sinais matemáticos, hoje vamos conhecer como surgiram os sinais de relação (>, < e =).

Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = (igual) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal =, constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade, em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

Texto extraído do livro “Matemática divertida e curiosa” do autor Malba Tahan.

Clique sobre os nomes se quiser conhecer a origem dos sinais de soma e subtração e a origem dos sinais de multiplicação e divisão.

Abraçosssss!
Ju

Olá galerinha,

Dando continuidade à série origem dos sinais matemáticos, hoje vamos conhecer um pouquinho sobre os sinais de multiplicação e divisão. Vamos lá???

Origem do sinal de multiplicação:

O sinal x, com que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred, empregou-o, pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores.
Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz encontra-se o sinal   para indicar multiplicação; esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava divisão.

Origem do sinal de divisão:

As formas a/b e , indicando a divisão de a por b são atribuídas  aos árabes; Oughtred, em 1631, colocava um ponto entre  o dividendo e o divisor.
A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que  apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷ segundo Rouse Bali, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :.

Texto extraído do livro “Matemática divertida e curiosa” do autor Malba Tahan. Grifo meu.

Clique aqui para conhecer a origem dos sinais de soma e subtração.

Na próxima semana postarei sobre a origem dos sinais de relação (=, > e <). Apareçam!

Bjinhos,
Ju

Oláááá,

Você saberia dizer de onde surgiu o + (mais ) e o - (menos) que escrevemos em todas as operações de soma e subtração que realizamos. Na escola, aprendemos que para somar temos que utilizar o sinal de mais (+) e para subtrair o sinal de menos (-), no entanto, pouco se fala da origem desses sinais. Vamos conhecer um pouquinho sobre eles???

Origem do sinal de adição:

O emprego regular do sinal + (mais) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d’Eger publicada em Leipzig em 1489.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição justapondo as parcelas – sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

Origem do sinal de subtração:

É interessante observar as diferentes formas por que passou o sinal de subtração e as diversas letras de que os matemáticos se utilizaram para indicar a diferença entre dois elementos.
Na obra de Diofanto, entre as abreviaturas que constituíam a linguagem algébrica desse autor,encontra-se a letra grega ψ indicando subtração. Essa letra era empregada pelo famoso geômetra de Alexandria como sinal de operação invertida e truncada.
Para os hindus – como se encontra, na obra de Bhaskara – o sinal de subtração consistia num simples ponto colocado sob o coeficiente do termo que servia de subtraendo.
A letra M – e, às vezes, também m – foi empregada, durante um longo período, para indicar a subtração, pelos algebristas italianos. Luca Pacioli, além de empregar a letra m, colocava entre os termos de subtração a expressão DE, abreviatura de demptus.
Aos alemães devemos a introdução do sinal - (menos), atribuído a Widman. Pensam alguns autores que o símbolo - (menos), tão vulgarizado e tão simples, corresponde a uma forma limite para a qual tenderia a letra m quando escrita rapidamente. Aliás, Viète – considerado como fundador da Álgebra moderna – escrevia o sinal = entre duas quantidades quando queria indicar a diferença entre elas.

Texto extraído do livro “Matemática divertida e curiosa” do autor Malba Tahan - pseudônimo de Júlio César de Mello e Souza.

É isso aí. Na próxima semana, postarei sobre a origem dos sinais de multiplicação e divisão.

Um abraço!
Ju