Quando somos apresentados pela primeira vez aos números negativos, dizem-nos que ao multiplicarmos dois números menores que zero encontramos um número positivo, de modo que, por exemplo, (-2) x (-3) = +6. Isso muitas vezes parece bastante intrigante.
O primeiro ponto que devemos notar é que, partindo das convenções habituais da aritmética sobre os números positivos, temos a liberdade de definir (-2) x (-3) como bem entendermos. Poderia ser -99, ou 127π, se desejarmos. Portanto, a principal questão não é quanto ao valor real, e sim quanto ao valor adequado. Diversas linhas de pensamento convergem para o mesmo resultado, isto é, que
(-2) x (-3) = +6. Incluí aqui o sinal + para enfatizar.
Mas por que isto é adequado?
Eu gosto da ideia de interpretar um número negativo como uma dívida. Por exemplo, se minha conta no banco contém -R$3,00, então eu devo R$3,00 ao banco. Suponha que minha dívida seja multiplicada por 2 (positivo): nesse caso, ela certamente se transformará em uma dívida de R$6,00. Portanto, faz sentido insistir que (+2) x (-3) = -6. No entanto, o que seria (-2) x (-3)? Bem, se o banco cancelar amavelmente duas dívidas de R$3,00 cada uma, eu terei R$6,00 a mais, ou seja, minha conta se alterou exatamente como se alteraria se eu tivesse depositado +R$6,00. Portanto, em termos bancários queremos que (-2) x (-3) seja igual a +6.
O segundo argumento é que (+2) x (-3) e (-2) x (-3) não podem ser ambos iguais a +6. Se fosse assim, poderíamos eliminar o -3 e deduzir que +2 = -2, o que é um absurdo.
O terceiro argumento se inicia ressaltando uma premissa não declarada no segundo argumento: de que as leis habituais da aritmética devem continuar válidas para os números negativos. E prossegue, acrescentando que esse é um objetivo razoável, ainda que seja apenas pela elegância matemática. Se quisermos que as leis habituais continuem válidas, então
(+2) x (-3) + (-2) x (-3) = (2-2) x (-3) = 0 x (-3) = 0.
Portanto,
-6 + (-2) x (-3) = 0
Somando 6 a ambos os lados, vemos que:
(-2) x (-3) = +6
De fato, um argumento semelhante justifica que (+2) x (-3) é igual a -6.
Juntando todas as ideias: a elegância matemática nos leva a definir que menos vezes menos é igual a mais. Em aplicações como nas finanças, essa escolha se adapta diretamente à realidade. Assim, além de mantermos a simplicidade da aritmética, acabamos com um bom modelo para certos aspectos importantes do mundo real.
Poderíamos fazer a coisa de um jeito diferente, mas acabaríamos complicando a aritmética e reduzindo sua aplicabilidade. Basicamente, essa é a melhor solução. Ainda assim, “menos com menos dá mais” é uma convenção humana consciente, e não um fato inevitável da natureza.
É isso aí.
Abraços e até amanhã.
Ju.
23 de junho de 2010 às 13:21
ainda me lembro de como a professora ensinava isso na quinta série:
Amigo do meu amigo é meu amigo
Amigo do meu inimigo é meu inimigo
Inimigo do meu inimigo é meu amigo
Um amigo meu fez sua monografia para o curso de licenciatura em matemática justamente abordando este assunto. De fato é um grande nó na cabeça das crianças, afinal, não temos "dedos negativos" para nos ajudar a contar... mas explicações como essa podem ajudar a esclarecer as alunos!